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数学
一类二次可积系统的Abel积分的零点个数估计
确定Abel积分的零点个数上界,是当今分岔理论研究的热门课题之一,这一问题和确定Hamilton系统与可积系统在多项式扰动下的极限环个数密切相关.由于这是Hilbert第16问题的一种特殊情况,所以把它叫做弱化的Hilbert第16问题.本文主要讨论形如H(x,y)=x~(-3)((?)y~2+Ax~2+Bx+C)(A,B,C为实参数)的二次可积系统扰动下的Abel积分的零点个数的估计问题.全文分为五个部分.第一部分介绍了研究现状以及本文主要的结论.第二部分研究了x=H_y/M,y=-H_x/M的正规形,这里H(x,y)=(ax+by+c)~kP_2(x,y),P_2(x,y)=(?)a_(ij)x~iy~j,a~2+b~2≠0,k∈Z,给出了至少有一个中心的上述系统所对应的首次积分形式,及其轨线的拓扑结构图. 本文的第三部分讨论了首次积分为H(x,y)=x~(-|k|)((?)y~2+Ax~2+Bx+C),其对应系统在n次扰动下的I(h)的代数构造,得出其有k个生成元,并给出了表示式中系数多项式的阶数. 文章的后三部分讨论了至少有一个中心的二次可积系统在一般n次扰动下的Abel积分I(h)=(?)[M(x,y)g(x,y)]dx-[M(x,y)f(x,y)]dy的零点个数上界,这里f(x,y),g(x,y)是关于x,y的n次多项式.首先,我们根据I(h)的代数构造,证明了I(h)可表为三个生成元J_(-1),J_0(h),J_1(h)的组合,即I(h)=(?)(α(h)J_(-1)(h)+β(h)J_0(h)+γ(h)J_1(h))其中degα(h)≤n-3,degβ(h)≤n-3,degγ(h)≤n-3;最后,利用广义Rolle中值定理,证明Abel积分I(h)的零点个数B(n)≤7n,即B(n)被依赖于n的线性函数所控制.
硕士论文
《天津师范大学》 2009年硕士论文
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