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平面微分系统的等时中心问题

陈兴武

   若平面微分系统的孤立奇点的某邻域被周期轨充满,则称此奇点为中心。若在中心的某邻域内的周期轨具有相同周期,则称此中心为等时中心。对周期轨周期的研究是微分方程定性理论探讨中的一个重要领域。周期的性质与其他定性性质密切相关。例如,在同(异)宿分岔和次谐分岔中,一个非退化条件就是周期的局部单调性。因此,判定一个中心是否是等时中心(称为等时中心问题或中心的等时性问题)是很有必要的。等时中心问题研究的主要困难是计算周期常数或等时常数的代数簇以及寻找线性化变换或横截交换系统。本文研究平面微分系统的等时中心问题。 近年来,等时中心问题吸引了许多学者(如Chavarriga、Chicone、Christo-pher、Sabatini、Romanovski等)的目光,并出现了很多有意义的工作。然而,等时中心问题的研究迄今还没有一个成熟的方法,并且,由于其中涉及大量多元多项式的代数簇计算,计算机的计算能力也限制着此问题的发展。因此,许多微分系统的等时中心问题还没有得到解决,甚至低次(如三次)多项式微分系统的等时中心问题也没有被完全解答。 Chouikha对阻尼项是速度平方的Lienard型方程的等时中心给出了一个复杂的判定原则。在第二章中,我们对他的判定原则给出了一个直接计算参数的方法。从而,通过把约化时间可逆三次多项式微分系统变换为Lienard型方程,我们有效地对此三次多项式微分系统的等时中心给出了参数条件。 等时中心的判定往往涉及大规模多元多项式的代数簇计算。在第三章中,我们在前人结式消元法的基础上从代数上严格证明了一个代数簇的分解公式。这个公式帮助我们得到了前人所没有解决的三类具有二次等时中心的时间可逆三次微分系统的等时中心必要条件。接着,我们通过寻找线性化变换证明了满足这些条件的系统在原点处的中心是等时的。从而,对二次等时中心在时间可逆三次扰动下保持等时性的充要条件的研究得以完成。 非双曲系统的线性化是当今十分重要的问题,本质上就是要寻找等时中心条件。Christopher对二次和具有三次齐次非线性项的平面复系统解决了线性化问题。在第四章中,我们对具有五次齐次非线性项的复系统通过计算线性化量的代数簇和证明线性化变换的存在性,得到了系统线性化的参数条件。我们也相应给出了具有五次齐次非线性项的实系统线性化的参数条件,从而,完成了对线性等时中心在五次齐次扰动下保持等时性的充要条件的研究,推进了Chavarriga等人的工作。 2002年,Jarque和Villadelprat在J.Diff.Equa.上研究了四次Hamilton系统的等时中心问题,并提出公开问题:偶次多项式Hamilton系统有等时中心吗?在第五章中,我们研究一般多项式Hamilton系统,利用周期常数的隐式关系计算,给出了原点为非等时中心的一个充分条件,并证明了具有齐次非线性项或只具有偶次非线性项的多项式Hamilton系统在原点处的中心是非等时的,从而部分回答了这个公开问题。此外,我们还确定了细中心的阶数以及分岔出临界周期的个数。……   
[关键词]:多项式微分系统;临界周期;周期常数;等时中心;线性化
[文献类型]:博士论文
[文献出处]:四川大学2007年
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