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复平面多项式共振微分系统的奇点量与可积性条件

肖萍

  本文主要研究具共振奇点的复平面多项式微分系统的奇点量及其可积性条件以及平面多项式微分系统的中心焦点判定与极限环分枝问题,全文由五章构成。在第一章中,对平面多项式微分系统中心焦点问题与极限环分支问题的历史背景和研究现状进行了全面综述,并对本文所做的工作作了简单的介绍。在第二章中,对具p∶-q共振奇点的复自治多项式微分系统引入广义奇点量的概念,它是文[103]中奇点量概念的推广,它以在实平面多项式微分系统的中心焦点判断与极限环分支中有着极为重要意义的焦点量和鞍点量作为特例。进一步,讨论了系统(1)在原点邻域存在首次积分的充分必要条件,并给出了计算广义奇点量的线性递推公式。利用此公式求广义奇点量只需将系统右端系数为符号进行有限次的加、减、乘、除四则运算,避免了通常计算焦点量与鞍点量所需要的复杂的积分与解方程运算,从而比较容易在计算机实现。在第三章中,讨论了p∶-q型Lotka-Volterra系统在原点可积的充分必要条件,首次给出并证明了1∶-q型Lotka-Volterra系统的第一个广义奇点量公式,2∶-q型Lotka-Volterra系统的第一个广义奇点量公式。对于3∶-q型Lotka-Volterra系统,给出了可积的充分条件,并对具体的3∶-4至3∶-17型Lotka-Volterra系统,给出了可积的充分必要条件。对于4∶-q型以及5∶-q型Lotka-Volterra系统,给出了一些具体系统可积的充分必要条件。在第四章中,讨论了一类p∶-q型二次系统……