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C~n单位球上的向量值Dirichlet型函数空间

李英奎

  1966年,G.D.Talyer在Trans.Amer.Math.Soc.上引入了定义在单位圆盘上的Dirichlet函数空间,从1980年到上世纪末,随着一些著名数学家的加入,单位圆盘上的Dirichlet函数空间和Dirichlet型函数空间的研究取得了大幅度的进展和一系列的重要成果,以至于成为引人注目的研究课题。1999年史济怀又定义了C~n单位球上的Dirichlet型函数,这使得Dirichlet型函数的研究进入了多复变的阶段,从那时起,多复变的Dirichlet型函数得到了数学家们的重视,时至今日,这一课题的研究已经成为调和分析的一个重要方向。在调和分析的发展过程中,将标量值函数空间推广到向量值函数空间是向量值调和分析的一个重要的研究课题,并且多年来一直是调和分析研究的一个热点。可以说Banach空间几何学的发展和向量值调和分析的发展是紧密相连的,一方面研究在具有一定几何性质的空间取值的函数的分析性质,另一方面通过研究函数空间的分析性质研究值空间的几何性质,二者相互促进。这一点从近年来许多调和分析专家所做的工作可以得到验证。在本文中,我们将定义多复变向量值Dirichlet型函数空间,并通过随机化对它的乘子和光滑性等问题进行研究。在这个过程中,我们将多复变函数论,Banach空间几何学,复合算子理论,H_p鞅论等有机结合起来,从而将标量值Dirichlet型函数空间上的结果推广到向量值Dirichlet型函数空间上来。在证明过程中,可以看到多复变向量值Dirichlet型函数空间的性质既和Banach空间的几何性质有关,又和多复变函数的分析性质有关。在本文中,我们还将研究C~n单位球上的向量值随机幂级数。1954年,R.Salem和A.Zygmund在Acta Math.上发表了关于实空间上的幂级数的研究成果,得出了著名的Salem-Zygmund定理。随后,A.Zygmund在其1959年出版的专著中系统的介绍了幂级数的工作。1985年,P.L.Duren在Machigan Math.J.上研究了定义在单位圆盘上的幂级数。近年来,人们开始研究定义在C~n单位球上的随机幂级数,1999年,中国科技大学的胡朋彦和史济怀研究了C~n单位球上的随机幂级数,推广了Salem-Zygmund定理。本文的目的之一是把C~n单位球上的随机幂级数的结论推广到向量值随机幂级数上来。需要指出的是,在这个过程中,我们较多的利用了鞅论中的知识。具体说来,本文分为以下四个部分:……   
[关键词]:多复变函数论;Dirichlet型函数空间;乘子;随机幕级数;Banach空间几何;Rademacher型和余型
[文献类型]:博士论文
[文献出处]:武汉大学2005年
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