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有理单元法研究

王兆清

  根据材料的细观结构将非均质材料区域划分成多边形单元,可以方便有效地模拟非均质材料的细观性能。传统有限元法在多边形单元上难以构造满足协调性要求的多项式位移试函数。即使在四边形单元上,传统有限元法位移试函数的构造也依赖于等参变换。本文组合Shepard插值的逆距离权思想和自然邻点插值考虑节点分布的思想,采用几何的方法在多边形单元上,直接构造出有理函数形式的插值函数。进而利用构造出的有理函数插值,建立了求解偏微分方程的新型数值方法——有理单元法。本文以多边形单元上有理函数插值的构造和应用为主线,主要取得以下创新成果:一、采用几何的方法构造出多边形单元上的有理函数插值。证明了多边形单元上有理函数插值的有关性质。给出了有理函数插值的计算代数表达式和计算流程,利用该表达式可以方便地编写计算程序。构造的有理函数插值与Shepard型插值相比,考虑了平面节点分布对插值的影响;与自然邻点Laplace插值相比,不需要进行自然邻点的寻找;与Wachspress型插值相比,不含有待定参数,方便程序的编写;在三角形单元和矩形单元上,多边形有理函数插值分别等价于传统有限元的三角形面积坐标插值和四边形双线性插值;有理函数插值在多边形单元上是直接构造,不需要进行等参变换处理。二、对圆形区域上的曲面利用有理函数插值进行重构。利用区域边界有限个点的信息,采用有理函数插值重构曲面。算例表明有理函数插值得到的重构曲面,能够很好地反映出真实曲面的特征。三、将构造出的有理函数插值应用于凸区域温度场分布的插值近似。利用区域边界点的温度值,采用有理函数插值得到区域内部点的温度近似值。有理函数插值得到的温度场近似分布在区域内温度梯度是连续的,克服了传统有限元插值由于在区域内布点造成的区域内温度梯度不连续性的缺陷。数值算例表明,有理函数插值得到的温度场近似分布,能够很好地反映真实温度场分布的特点。四、采用几何的方法构造出多边形单元上有理函数形式的混合函数,建立了……