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多自由度碰撞振动系统的环面分岔与混沌研究

丁旺才

  本文系统地建立了多自由度碰撞振动系统环面分岔的研究方法,理论分析与数值模拟相结合研究了五种共振态下碰撞振动系统的两参数分岔及开折,分析了系统出现的各种吸引子、吸引子共存及同宿异宿轨道,进一步研究了环面失稳及通向混沌的道路。其主要工作如下:第一章从碰撞振动系统的周期运动稳定性、分岔、混沌理论研究和工程应用等方面出发,结合相关微分方程和离散型映射系统的动力学发展,综述了近些年来的部分成果、最新发展动态和尚存在的主要问题。介绍了论文的研究内容与主要结果。第二章建立了两自由度碰撞振动系统的四维Poincaré映射,系统地研究了满足弱共振条件时的两参数动力学性态。利用中心流形-范式理论将映射转化为二维范式,推导出系统存在Hopf分岔和次谐分岔的条件,即Arnold舌。对5阶弱共振情况进行了数值模拟,证明碰撞振动系统在共振点附近存在由Hopf分岔产生的不变环面和由次谐分岔产生的周期5-5运动。同时发现在局部吸引子的周围,往往存在其他的吸引子。当参数进一步变化时,共振舌内的分岔行为比舌外更加复杂,且伴随着混沌。此外,对模型三的一个所谓“共振峰”进行的数值模拟结果揭示了在拟周期分岔通向混沌的过程中经常伴随的“锁相”过程与弱(强)共振密切相关,展示了碰撞振动系统存在的复杂而丰富的动力学性态。第三章研究了当系统满足强共振(λ_0~3=1和=λ_0~4=1)条件时碰撞振动系统的两参数分岔。利用中心流形-范式理论将映射转化为二维范式,在不动点处用一个自治常微分方程的时间推进映射(时间-t映射)来进行范式映射的逼近,从而由该微分方程在同宿、异宿分岔附近的性质来描述映射的不变闭曲线的全局分岔。推导出系统存在Hopf分岔和次谐分岔的条件。分析了系统两参数开折的局部动力学行为,扩展了单参数强共振分岔理论。数值计算表明碰撞振动系统在共振点附近存在Hopf分岔和次谐分岔。在3阶共振是,产生不稳定的周期3-3运动;对4阶共振而言,周期4-4运动和T~1环面的存在性、稳定性和相互位置关系由共振项系数确定。数值模拟进一步展示了不变环面和次谐不动点通向混沌的演化路径。第四章建立了多自由度碰撞振动系统Hopf-Flip分岔的分析方法。利第日页西南交通大学博士研究生学位论文用中心流形定理将四维(或更高维)Poincar乙映射降阶为三维映射,然后推导出对应的范式,分析了系统在HoPf一FliP分岔点附近的两参数开折及相轨线。并基于投影技术利用Mat lab进行编程。数值模拟表明,在临界点附近除了存在不动点的HoPf和周期倍化分岔外,系统还存在周期2点的Hopf分岔和曲线倍化分岔。当参数进一步变化时,系统以3种不同演化形式通向混沌,其中有的路径是非常规的。此外,当特征值同时满足4阶强共振条件时,利用数值模拟揭示了分岔点附近复杂的动力学性态。系统的运动包括T‘环面、ZXTI环面、4xT‘环面以及4阶不动点,并展示了当参数向量沿不同方向远离分岔点时系统通向混沌的演化路径。 第五章研究了多自由度碰撞振动系统的HoPf一HoPf分岔。推导出三自由度碰撞振动系统周期运动的六维Poinca比映射,利用中心流形定理将六维(或更高维)Poincar‘映射在Hopf一Hopf分岔点降阶为四维映射,然后推导出对应的范式,得到了范式中系数的解析表达式。进而分析了系统在HoPf-H叩f分岔点附近的两参数开折及相轨线。数值模拟表明,在临界点附近存在不动点的Hopf分岔,并且在某些参数区域,发现了这种实际系统中的T,环面分岔。同时系统还存在几种形式的异宿轨道。当参数进一步变化时,T,环面将发生变形、折叠、单频锁相,从而通向混沌,该混沌演化路径国内外似未见报道。此外,当特征值同时满足4阶强共振条件时,利用数值模拟揭示了Hopf一Hopf分岔点附近的动力学性态。关键词:多自由度;碰撞振动;环面分岔:余维二分岔;高维环面;混沌……   
[关键词]:多自由度;碰撞振动;环面分岔;余维二分岔;高维环面;混沌
[文献类型]:博士论文
[文献出处]:西南交通大学2004年