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马尔可夫化方法在时间序列和排队模型中的应用

俞政

  这篇学位论文由两部分内容组成。第一部分即第一章。在这一部分中,构建了三个被名之为随机环境下的非线性时间序列的模型:二十世纪八十年代,作为一般非线性时间序列模型的推广,H.Tong和K.S.Lim就已提出了一个与上述模型1本质上相同的时间序列模型。但是迄今为止,关于这一模型的迭代序列的极限行为的研究,尚未展开。模型2是一个全新的时间序列模型,它是模型1的延伸;模型3是模型1和模型2的一般化。上述三个模型与一般非线性时间序列模型的不同之处是,这三个新的模型反映了对一个系统的干扰以及系统本身受环境突变影响的因素。因而,它们能更好地拟合现实世界中诸多实际问题。这个不同之处在数学上引起的后果是:一般非线性时间序列模型的迭代序列形成一个一般状态马尔可夫链或多重马尔可夫链;而随机环境下的非线性时间序列模型1,2和3的迭代序列,却无此良好的性质。对于前者,可以方便地应用一般状态马可夫链的理论处理之。在现今有关非线性时间序列分析的文献中,大凡涉及非线性时间序列的遍历性问题者,均采用如此的方法。而对后者,却无法直接应用上述的方法。探讨随机环境下的非线性时间序列模型的极限行为便是第一章的目的。在这一章的§1、§2和§3中,分别讨论了模型1,模型2和模型3所确定的迭代序列的极限行为,给出了它们在某种意义下收敛或以几何速率收敛的若干充分条件。第二部分即第二章。在其中建立了四个排队模型,在迄今所深入研究博士学位论文过的排队模型中,对输人和服务过程限制最为宽松的所谓GI/G/l排队系统,可视为它们的特别情形。在排队理论中,关于GI/G/1排队系统的研究,延续了几十年,直至上个世纪末,方得到了它的瞬时队长分布的积分表示,在这个积分表示中,其被积项可以由一组柯尔莫洛夫偏微分方程递归地确定。第二章的目的,是要建立较GI/G/1排队系统更一般化的这四个排队系统的瞬时队长分布的积分表示。在这一章的夸3、芬4、县5和号6中,分别针对这四个排队模型,讨论了瞬时队长的分布,最终得到了以下的结果:在这几个模型的到达间隔分布和服务时间分布均具有密度函数的条件下,它们的瞬时队长分布可以表示为一个积分,该积分的被积项可以递归地求取。这些结果与前述关于GI/Gll排队系统的瞬时队长分布的结果是类似的。此外,当到达间隔分布和服务时间分布不都有密度函数时,应用马尔可夫骨架过程理论,亦可得到上述四个排队系统的瞬时队长分布的积分表示。在处理上述这两个内容截然不同的部分时,所使用的基本方法是一致的。这一方法在本论文中被名之为“马尔可夫化”方法。即添加适当的补充变量于一个非马尔可夫过程,可以得到一个新的过程,这个新过程是一个马尔可夫过程,于是便可应用马尔可夫过程理论分析这个新过程,在一定的条件下,从这个新过程的性质中,可以析取原来那个非马尔可夫过程的性质。……   
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