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一类平面四次系统的定性分析

桑波

  本文主要讨论了形如式中p_4=a_0x~4+a_1x~3y+a_2x~2y~2+a_3xy~3+a_4y~4Q_4=b_0x~4+b_1x~3y+b_2x~2y~2+b_3xy~3+b_4y~4的一类具有星形结点的平面四次多项式微分系统的全局结构、系数条件、数字系统举例以及结构稳定性的充分必要条件。至今为止,对系统(0.1)的比较系统的研究成果基本上还是空白,这主要因为系统的未知参量过多,利用高阶奇点理论研究系统全局结构十分困难。为了克服上述困难,本文不但采用了常规的定性方法、分析方法,而且还利用了分支的方法、系统代数分类的思想及双扇形区域的概念,得到了比较系统的结果。系统(0.1)属于无环系统,研究无环系统的主要工具是特征多项式,上述系统的特征多项式是二元五次代数多项式。第一章通过讨论二元五次多项式根的重数,并结合定性理论及分支方法,得到系统无穷远奇点的结构定理,有限远奇点的结构定理。值得一提的是,为了完整地得到系统的全局拓扑结构,本文利用跨临界分支定理得到了一种特殊的高阶奇点类型,即复杂奇点Ⅰ及复杂奇点Ⅱ。跨临界分支描述性定义如下:跨临界分支只可能发生于对任意参数都有奇点的含参数动力系统;当两个稳定性不同的奇点相互碰撞时,两个奇点的稳定性发生互换。形象地讲,两个奇点相互跨越。第二章首先简单介绍代数不变式思想;然后利用代数不变式的思想,对二元五次代数多项式进行代数分类;最后由此得到系统的12种标准形。为了以后叙述的方便,上述12种标准形系统依次称为系统1-系统12。在第三章中,为了更好的讨论系统的全局拓扑结构,本文首次引入双扇形区域的概念;然后根据第一章中的引理得到引理3*,引理3.2及系统双扇形区域分类定理.其中双扇形区域分类定理大意为系统(0l)有且仅有6种不同双扇形区域分类,系统的每一种全局拓扑结构对应于不同的双扇形区域序列.基于上述结构定理,本文得到了系统的121种不同的全局拓扑结构.第四章对系统l-系统12的全局结构进行了数字系统举例,进一步以实例验证了双扇形区域分类定理及系统的全局拓扑结构.值得一提的是,数字系统举例的举例过程有时需要进行十分复杂的代数运算,为了提高运算效率及准确性,本文以MATLAB为工具进行了数字系统的举例.从理论上讲,我们可以给出全部的数字系统举例,但是由于篇幅的局限,本文只举出了24个数字系统.根据第一章中的引理、第二章中系统代数分类的思想及第三章中双扇形区域分类定理,我们在第五章得到了系统结构稳定性的充要条件.结论如下:定理5。1(系统结构稳定的充要条件)系统1为结构稳定的充要条件是e,马,只马,只XO.系统3为结构稳定的充要条件是e#0.系统4为结构稳定的充要条件是月人,gXO·系统5为结构稳定的充要条件是片XO.定理 5.2 系统 2,6,7,8,9,10,11,12为结构不稳定的.……   
[关键词]:特征多项式;全局结构相图
[文献类型]:硕士论文
[文献出处]:山东师范大学2003年