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非线性波与可积系统

闫振亚

  本文以构造性的变换及符号计算为工具,来研究非线性波和可积系统中的一些问题:精确解(如孤子解、周期解、有理解、dromion解及compacton解等)、Panileve可积性、Backlund变换、Darboux变换、对称(相似约化)、条件对称、Lax可积族、Liouville可积的N-Hamilton结构、约束流、对合系统、Lax表示、r-矩阵、变量分离及可积的耦合系统.第二章和第三章考虑非线性偏微分方程的精确解的构造:首先给出了C-D对和C-D可积系统的基本理论,然后在第三章中具体研究了它们的应用:(1)基于两种Riccati方程,提出了两种新的求解非线性微分方程更多解的方法,利用其中的一种方法,得到了WBK方程的12组精确解;(2)对齐次子衡法进行改进,以致于获得了(2+1)-维Broer-Kaup方程的很多新解;(3)基于带有外力项的广义KdV方程的Riccati形式的非等谱Lax对,提出了该方程的一个新的Darboux变换,利用该变换,得到了新的类孤波解和有理解;(4)通过构造了带有外力项的变系数KdV方程的Darboux变换及叠加原理,获得(2+1)-维广义KP方程的新的类单孤波解、双类孤波解和有理解。第四章讨论了非线性微分方程的Painleve可积性和Backlund变换。利用WTC方法证明了两类(2+1)-维广义Burgers方程是Painleve可积的,并经截断展开原理获得了它们的Backlund变换,其中Cole-Hopf变换是其特例。第五章考虑了非线性偏微分方程的对称和精确解:(1)将C-K直接法推广到具有全色散项的新的Estevez-Mansfield-Clarkson(EMC)E(m,n)方程中,得到了五种新的对称,进而得到了E(1,n)方程的新的孤波解以及E(m,m-1)方程的新的类compacton解。特别地,获得了E(3,2)方程和E(2,1)方程的新的compacton解;(2)将C-K直接法推广高维情形-(2+1)-维广义KdV方程,获得了8种新的(1+1)-维型的对称。利用这些结果,进一步可知道该方程也可约化为P-Ⅰ型和P-Ⅱ型的方程。最后研究了该方程的cnoidal波和类dromion结构;(3)将C-K直接法推广到(2+1)-维广义Burgers方程中,获得了11种新的(1+1)-维型的对称和6种新的条件对称。第六章研究了Lax可积的新的方程族和Liouville可积的N-Hamilton结构方面的问题:将屠格式推广到新的含有任意函数的广义Dirac族的谱问题、广义Kaup-Newell谱问题及含有五个位势函数的3×3谱问题,研究了它们的Lax可积的方程族和Liouville可积的Hamilton结构。第七章讨论了高阶约束流、对合系统、r-矩阵和变量分离性:(1)给出了一个广义Dirac族的Bargman约束流的r-矩阵,一个新的对合系统和解的对合表示;(2)给出了与Guo族有关的高阶约束条件及其可积的约束流(Hamilton系统),及其Lax表示和r-矩阵;(3)证明了Dirac族的第一约束流的可分离性,并且给出了它的分离方大连理工大学博工学位论文程.第八章提出了一个隐式的IOOp代数及其一组基所满足的对易关系,基于其中的新的等谱问题,获得了著名的TC族的新的含有任意函数的LaX可积的耦合系统.……