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具有Holling Type-IV功能反应函数的捕食与被捕食系统的定性分析

黄继才

  在人口动力学中模拟一种“群体防御”(group defense)现象的生态数学模型是一类带有Holling Type-Ⅳ功能反应函数的捕食与被捕食系统(参见[3],[4],[6],[7],[8]):其中x(t)和y(t)分别表示被捕食者与捕食者在时间t时的人口密度,参数r,K,μ,D,a和b都具有生物意义,具体的说,K表示被捕食者的容纳量(carrying capacity),D表示捕食者的死亡率,r是被捕食者的出生率,μ是捕食者的捕获率,a是半饱和常数,x/(a+bx+x~2)是Holling Type-Ⅳ功能反应函数。r,K,a,μ和D都是正参数,并且x(t)≥0,y(t)≥0.a和b使得上述系统的分母不等于零,具体来说,只要b>-2a~(1/2)即可。系统(1)由于它具有较强的生物背景和富有挑战性的复杂动力学性态吸引了大批生物学家和数学家的兴趣。近十几年来,有大批的文献对它或更一般形式系统进行研究,发现一些有趣的动力学现象,如“富食悖论”(paradox of enrichment),存在同宿轨等等,(参见[3],[4],[6],[7],[8]及它们所引的文献)。本文从全参数角度对系统(1)进行全局定性分析,得到参数域的剖分,给出参数在不同参数域时的全局动力学性质。全文共分成二部分。在第一部分中,我们讨论系统(1)在b>-2a~(1/2)时的全局动力学行为,对参数的全局定性分析表明在某些参数域中系统(1)展示“富食悖论”现象,在某些参数域中系统(1)具有全局稳定的吸引子(即正平衡点),在某些参数域中系统(1)有稳定的唯一极限环。而通过分支分析表明系统(1)能出现丰富的分支现象如:鞍结点分支,Hopf分支和同宿轨分支。当b>-2a~(1/2)且b≠-a~(1/2)时,系统(1)具有余维2的尖点型分支,也就是Bogdanov-Takens分支;当b=-a~(1/2)时,系统(1)具有余维数大于或等于3的高阶平衡点分支。而且我们选择了系统的原参数中的二个作为分支参数,可以使系统(1)进行Bogdanov-Takens余维2普适开折,从而证明系统(1)同宿轨的存在性。第二部分我们讨论系统(1)当b=0时细焦点的阶数。当b=0时,系统(1)为一文[7]对系统p)进行了全参数分析得到系统*)丰富的全局动力学性质,但当参数取某些值时系统间出现了阶数大于或等于2的细焦点,文*没有计算该细焦点的阶数。本文的第二部分我们对系统* 用形式级数法,并借助数学软件包Mathematica计算了高阶细焦点的阶数,得到在某些参数域中该细焦点是二阶的,并对其稳定性进行判定,再由HO扯分支定理,我们得到系统在某些参数域内至少存在二个极限环.……   
[关键词]:Holling Type-IV;捕食与被捕食系统;极限环;同宿轨;高阶细焦点;Bogdanov-Takens分支
[文献类型]:硕士论文
[文献出处]:华中师范大学2002年