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一类非线性结构混沌运动的研究

叶建军

  梁、拱、板、壳等非线性结构的受迫振动问题,经过Galerkin原理的转换,均可归结为如下形式的非线性动力方程老+d窝+2pJ’+gr’’占g(X,i,/)(1)对方程(1)的动力学性质的研究,是当前固体力学的研究领域中前沿的研究内容。对方程(1)的研究的解析结果,能有效的分析、计算和掌握梁、板、壳、拱等非线性弹性动力系统的发展演化规律,更好的认识、理解和实现对这类非线性系统的预测和控制。方程(1)是含有二次非线性项和三次非线性项的动力学方程。当9:0时,方程(1)成为~+ax+Tx’’占g(x,i,t) (2)方程(2)是Duffing方程,其特点是方程等式左边中的非线性项为三次幂。前人对Duffing方程(2)描述的系统进行了许多研究,但很少见到用解析方法研究方程(1)。二次非线性项和三次非线性项共同存在于方程(1)中,使得用解析方法研究这类系统的难度增大,对应Hamilton系统中的同宿轨道或异宿轨道的解析表达式的求解相当困难。本文用Melinkov方法对方程(1)的混沌运动进行了全面和详细地研究。主要工作和结果如下:1.分析了方程(1)建立的平面Poincare映射的奇点性质,讨论了此类方程对应的Hamilton系统的同宿轨道和异宿轨道与三个参数O、夕、尸的关系,给出了Hamilton系统存在同宿轨道或异宿轨道的充分必要条件。2.得出了同宿轨道或异宿轨道的解析表达式。应用Melnikov方法,计算并建立了同宿轨道或异宿轨道的Melnikov函数。给出了Poincare映射出现Smale马蹄混沌的临界值。3.得到了同宿轨道或异宿轨道内的,围绕中心型奇点的一族周期轨道的解析表达式。计算并建立了次谐周期轨道的Melnikov函数,给出了Poincare映射出现周期m点的判据。4.讨论了系统经过次谐分叉进入Smale马蹄混沌的具体途径。文中的各个结果均以具体的解析形式给出,其中包括同宿轨道或异宿轨道的解析表达式及其Melnikov函数;同(异)宿轨道内围绕中心型奇点的周期轨道的解析表达式及其Melnikov函数;出现周期m点的临界值;出现Smale马蹄混沌的临界值等。这些结果对于分析和研究方程(1)的Smale马蹄西南交通大学博士研究生学位论文第11页混浊运动具有重要意义。本文进行的研究讨论工作始终考虑方程中三个参数a、p、厂对系统的影响,出于参数。、g、厂决定着确定系统的动力学行为,因而文中所得’到的各个结果具有一般性和普适性。至此,本文基本解诀了方程 门)的关于Smale马蹄混炖的判别及相关问题。……   
[关键词]:非线性动力系统;同宿轨道;异宿轨道;Melnikov函数;Smale马蹄变换;混沌
[文献类型]:博士论文
[文献出处]:西南交通大学2001年