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格上点式一致结构与点式度量理论及其应用

史福贵

  本文的主要目的是在完全分配格上(或Fuzzy格上)建立一种理想的新的一致结构与度量理论,并给出其在理论计算机科学中Domain领域的应用。本文共分四章。第一章为F格上的点式一致结构理论,其主要目的是在完全分配格上(或F格上)建立一种理想的新的一致结构理论,使得它能够直接反映格上“点式拓扑的特点”;即“点”和它的重域(或远域)关系。通过对远域映射性质的研究及分明拟一致结构的刻画,引入了完全分配格上的一种新的拟一致结构的定义,称之为点式拟一致结构。证明了每个拓扑分子格皆可点式拟一致化。同时引入了点式拟一致连续广义序同态的概念,指出了以点式拟一致分子格为对象,以点式拟一致连续广义序同态为态射可构成一个范畴PQUML,称为点式拟一致分子格范畴。在这个范畴中,点式拟一致分子格的乘积封闭。在此基础上,借助于F格上的逆序对合对应,本章又引入了点式一致结构的概念,并借助于远域映射给出了它的若干相当简洁的刻画。为了刻画点式一致结构,本章还定义了一种点式完全正则性,一个F格上的拓扑能够由一个点式一致结构导出(或称可点式一致化)当且仅当其是点式完全正则的。不分明单位区间和不分明实直线都可点式一致化。除此之外,本章还给出了点式(拟)一致结构与Hutton(拟)一致结构的关系并借助于不分明单位区间给出了点式完全正则性的刻画,证明了一个L-拓扑空间是点式完全正则的次T_0空间当且仅当它同胚于不分明方体的一个子空间。第二章为F格上的点式度量理论,其主要目的是在完全分配格上(或F格上)建立能够直接反映格上“点式拓扑特点”的新的度量理论。首先在完全分配格上给出了点式伪拟度量的概念,并借助于远域映射族给出了它的刻画。这种点式伪拟度量诱导的余拓扑是第一可数的。指出了以点式伪拟度量分子格为对象,以点式拟一致连续广义序同态为态射可构成一个范畴PPQMML,称为点式伪拟度量分子格范畴,它是点式拟一致分子格范畴PQUML的一个满子范畴。一个点式拟一致结构可由一个点式伪拟度量所诱导当且仅当其有可数基。进一步,还给出了一个点式拟一致分子格可点式伪拟度量化的一个充要条件和一个第二可数的拓扑分子格可伪拟度量化的一个简洁证明。同时,也证明了可数多个点式伪拟度量分子格的乘积还是一个点式伪拟度量分子格。另外,在F格上引入了点式伪度量和点式度量的概念。不分明单位区间和不分明实直线都可点式伪度量化。一个点式一致结构可点式伪度量化当且仅当其有可数基。还给出了一个F格上的拓扑是一个点式伪度量拓扑的充要条件。从一个点式伪(拟)度量出发,可以诱导出一个Erceg伪(拟)度量,但是两种伪度量拓扑不等价。本章也提出了一些和点式度量相协调的T_2、完全T_2,Urysohn分离公理,并研究了它们同Hutton正则性、正规性间的关系,证明了点式度量拓扑是T_1的,T_2的,完全T_2的,Urysohn的,正则的和正规的。本章还把一般拓扑中的著名的Urysohn度量化定理、Alexandroff-Urysohn度量化定理推广到了F格上。第三章为点式一致结构与邻近结构的关系,其主要目的是研究F格上点式(拟)一致结构、点式伪(拟)度量与(拟)邻近结构的关系。通过对点式一致结构与邻近结构关系的细致讨论,指出了以全有界点式一致F格为对象,点式一致连续序同态为态射所构成的范畴与以邻近F格为对象,邻近序同态为态射所构成的范畴同构。第四章为连续Domain上的S-拟一致结构与S-伪拟度量,其主要目的是在第一章和第二章工作的基础上,建立连续Domain上的S-拟一致结构与S-伪拟度量理论,它们可看作第一章和第二章理论的具体解释和应用。有了第一章和第二章的工作后,在连续Domain上引入S-拟一致结构与S-伪拟度量理论就是自然的事了.连续Domain上的S-拟一致结构与S-伪拟度量可看作是一般拓扑中普通拟一致结构与伪拟度量的一种特殊情形.这种S-拟一致结构与S-伪拟度量都可诱导出由SCOtt开集构成的拓扑.另外,每个由scott开集构成的拓扑也可由这种S-拟一致结构所诱导,恃别地,SCOt.t拓扑可由这种S-拟一致结构所诱导.以S-拟一致Domain为对象,以S-拟一致连续映射为态射可构成一个范畴SQUD,称为S-拟一致Domain范畴.以S-伪拟度量Domain为对象,以S-拟一致连续映射为态射可构成一个范畴SPQMD;称为S-伪拟度量Domain范畴.它是S-拟一致Domain范畴SQUD的满子范畴.此伪拟度量的拓扑是第一可数的且是序T的.一个。-连续Domain是可以S-伪拟度量化的.最后,本章证明了点式拟一致分子格范畴 PQUML等价于 S-拟一致 Domain范畴 SQUD的一个子范畴;点式伪拟度量分子格范畴PPQMML等价于S-伪拟度量Don。am范畴SPQMD的一个子范畴.值得提到的是在理论计算机科学中,量化Domain是一个重要研究方向.如何定义两个程序间的理想距离一直是困扰这方面学者的一个未解决问题,这种S-伪拟度量的连续性使得计算两个程序间的有意义的距离成为可能?……   
[关键词]:格上拓扑;完全分配格;F格;点式一致结构;点式(伪;伪拟)度量;邻近结构;连续Domain
[文献类型]:博士论文
[文献出处]:首都师范大学2001年
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