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模糊逻辑形式系统的若干完备性定理

王三民

  近年来,模糊控制技术在应用方面取得举世瞩目的成功.然而,作为其核心的模糊推理,正如文[6]所言,在数学基础上却并非无懈可击,至今都没有归入严密的逻辑系统中.所以,以研究模糊推理的数学基础为核心的模糊逻辑,作为一个全新的数学领域,引起了世界上许多著名学者的关注,并且取得一系列重要的研究成果.1997年,工国俊教授在文[4]构造了模糊命题演算的形式系统L~*,该系统的否定算子和析取算子都是标准的模糊算子,蕴涵算子被称为R_0-组涵算子,分别定义如下:随后,王国俊教授又从事于该系统的语义方面和应用方面的研究并产生了一系列重要的研究成果,首先,文[5]建立了L~*系统的语义系统(即修正的Kleene系统)中的广义重言式理论;接着,文[7]提出了旨在为新型模糊控制器的研制提供一种可能的理论依据的模糊推理的全蕴涵三I算法;随后,文[8]给出了L~*系统的语义紧致性定理,文[16]给出了基于L~*系统的区间值刚推理方法,等等.最近,裴道武博士用代数方法证明了L~*关于(?)-语义的完备性定理[3].随后,本文作者和裴道武博士又独立地完成了(?)-语义的公理化问题[45,49].在此基础上,本掳四蛐造了L”所对应的谓词演算系统KZ,井在第五章证明了它关于 W一解释的完备性定理[15].迄今为止,在众多的非 Pavelka型模糊逻辑形式系统中,只有G砧el系统和KZ系统具有完备性.另外,在KZ中,析取算子和否定算子都是标准的模糊算子,而G5del系统中的这两个算子为了保证完备性只能取弱算子(基本上退化为二值逻辑中相应算子),这在很大程度上丧失了模糊性.从这一角度看,在理论上基于R卜蕴涵算子的逻辑系统KZ优越于基于G5del蕴涵算子的G5del系统,那么可以设想在实践中,基于Rr蕴涵算子的模糊推理模型应该优越于基干G5clel蕴涵算子的模型.KZ的完备性定理有一个很有意思的椎论.为了说明这一点,得先介绍一下三1算法.对于最基本的模糊推理规则,即已知p--+4,且给定;”求。“,这里f个”是集合X上的模糊集,。,,h,”是集合Y’上的模糊集.R。型三1算法的解由下式确定h·丫6]中4.4厂):〔1川二*。马{丫x)八尸山叫x)·利川》,这里,马二扛E川(/(x》’<RO卜(0),y,(y》}口由辽 中4.4.12,当厂是正规FuZZy集时贝若一=fx.则*·二乙·宜.这样,在KZ中可以用狭义三1算法准p—p”的情形)代替N 规则,从而KZ完备性的意义是:三1算法语义上推得的重言式集和人Z语构上的定理集一致.这是 Zadeh等人的 CRI算法所无法比拟的.它为三 1算法进入模糊控制的实践领域奠定了坚实的理论基础.在本文的第二章和第三章中,主要介绍c,q的完备性的证明[46卜它们都是通过Henkin方法完成的.这一方法最初应用于经典的二值系统完备性的证明,要在模糊系统中使用它,首先需要对它进行彻底的改造.这也是本文的主要贡献之一.2当然,要使用Henkin方法,还需要发展L”的一系列性质.腊研究结果在本赠一邱绍,主要包括.*)发现并证明了该系统的广义演绎定理,它也应该是c”的基本定理之一;仰通过一台计算机进行了长达半小时左右的运行,发现该系统中析取连接词的不独立性,这也反映了Rr算子具有很强的表达能力;间发现该系统中交推理规则可以跑添加公理而去掉,从而获得该系统的等价系统;(4)发现并证明了该系统中一些重要的推理规则(比如命题1.3.3),它们对证明完备性至关重要.……   
[关键词]:模糊逻辑;形式系统L~*;L~*的扩张C_n~*;形式系统K_L~*;完备性
[文献类型]:硕士论文
[文献出处]:陕西师范大学2001年
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