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随机微分方程的数值解

刘涛

  随机微分方程的模型已经被广泛地应用在工程学、金融学、生物学等学科中,但是随机微分方程往往都无法得到精确解,此时我们只能求取其近似数值解来代替精确解.因此,随机微分方程的数值解研究比较受到学者的重视.然而现在绝大多数的数值解方法都只能有效解决低维随机微分方程的近似数值求解,当方程维度上升时,现有的数值计算方法的复杂度将会呈指数增加,求取的近似数值解准确性将无法保证.本文将介绍一种深度学习神经网络算法来求取高维随机微分方程的数值解,并以50维的black-scholes方程为例,利用Tensor Flow框架来建立四层神经网络来求取近似数值解.本文第一章首先介绍随机微分方程的起源与发展,然后介绍随机微分方程数值解方法的研究意义和研究现状.第二章对布朗运动进行了介绍,主要介绍了布朗运动的定义和性质,并用R软件模拟了一维标准布朗运动的轨迹;然后介绍了伊藤公式和随机微分方程,并对随机微分方程解的存在唯一性进行了证明.第三章介绍了随机微分方程两种比较常见的数值方法:Euler-Maruyama方法和Milstein方法,并且介绍了两种数值方法的收敛性和稳定性;随后利用R软件模拟一维随机微分方程的近似数值解.第四章介绍了科尔莫哥洛夫偏微分方程和随机微分方程之间的关系,然后介绍了一种利用深度学习神经网络来计算高维随机微分方程数值解的算法,随后以50维的Black-Scholes方程为例,建立4层神经网络模型来计算其近似数值解.……   
[关键词]:随机微分方程;数值解;深度学习;神经网络;高维
[文献类型]:硕士论文
[文献出处]:武汉大学2019年