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矩形正交各向异性薄板弯曲受迫振动问题的分析解

蔡智宇

  板作为一种典型的结构元件,在航空、航天、汽车、船舶、建筑等领域有广泛的工程应用,有关板弯曲问题的研究也一直是固体力学研究的重要内容之一。在工程实际结构的分析中,基于Kirchhoff假设的薄板小挠度弯曲理论是比较常用的一个基本理论,并发展了多种非常有效的数值方法,如有限元、边界元等。数值分析方法的成功并未减低解析求解方法的意义。其原因有:(1)数值近似求解的理论基础脱离不了解析法;(2)有许多问题,例如断裂力学的裂尖奇点元、无限域的元等,其本性是解析的;(3)边缘效应、复合材料的自由边界及其边缘奇点分析等带有明显的局部效应的课题,采用数值计算有刚性问题,因此解析法仍有极大的兴趣。 传统的解析求解方法大都是在单类变量的欧几里得空间进行的,其求解思路是对未知函数进行消元,得到一个高阶偏微分方程组并进行求解。这样,分离变量及本征函数展开法等有效数学物理方法难以实施。与此不同,辛对偶求解方法建立在基于两类变量的辛空间中,从而使分离变量及辛本征函数展开的理性求解得以实施,扩大了分析求解的范围。 本论文通过恰当的辛内积定义,将矩形正交各向异性薄板弯曲受迫振动问题导入到辛对偶体系,给出其辛对偶方程组,并应用分离变量和辛本征展开的有效数学物理方法给出其受迫振动稳态解的一个解析求解方法。 本文具体讨论了对边简支和对边固支两种典型边界条件的正交各向异性薄板弯曲受迫振动问题的辛本征问题,并给出了对应的辛本征值超越方程和辛本征向量的解析表达式。最后,应用本文的方法具体分析求解了两个典型算例,并将受均布谐载作用的四边简支矩形板受迫振动稳态解的分析解与传统的Navier法进行了精度和收敛性的对比,结果表明本文的方法比传统的分析求解方法具有更好的精度和收敛速度,尤其是对板的内力。……   
[关键词]:正交各向异性;薄板;振动;辛空间;分析解
[文献类型]:硕士论文
[文献出处]:大连理工大学2011年